基础概念

特性

  • 贪心选择性质：只有当局部最优选择始终可以导致全局最优解时，贪心算法才能保证得到最优解。
  • 最优子结构：原问题的最优解包含子问题的最优解。

集体流程

贪心问题的解决流程大体可分为以下三步。

  1. 问题分析：梳理与理解问题特性，包括状态定义、优化目标和约束条件等。这一步在回溯和动态规划中都有涉及。
  2. 确定贪心策略：确定如何在每一步中做出贪心选择。这个策略能够在每一步减小问题的规模，并最终解决整个问题。
  3. 正确性证明：通常需要证明问题具有贪心选择性质和最优子结构。这个步骤可能需要用到数学证明，例如归纳法或反证法等。

确定贪心策略是求解问题的核心步骤，但实施起来可能并不容易，主要有以下原因。

  • 不同问题的贪心策略的差异较大。对于许多问题来说，贪心策略比较浅显，我们通过一些大概的思考与尝试就能得出。而对于一些复杂问题，贪心策略可能非常隐蔽，这种情况就非常考验个人的解题经验与算法能力了。
  • 某些贪心策略具有较强的迷惑性。当我们满怀信心设计好贪心策略，写出解题代码并提交运行，很可能发现部分测试样例无法通过。这是因为设计的贪心策略只是“部分正确”的，上文介绍的零钱兑换就是一个典型案例。

为了保证正确性，我们应该对贪心策略进行严谨的数学证明，通常需要用到反证法或数学归纳法。

然而，正确性证明也很可能不是一件易事。如若没有头绪，我们通常会选择面向测试用例进行代码调试，一步步修改与验证贪心策略。

贪心算法典型例题

贪心算法常常应用在满足贪心选择性质和最优子结构的优化问题中，以下列举了一些典型的贪心算法问题。

  • 硬币找零问题：在某些硬币组合下，贪心算法总是可以得到最优解。
  • 区间调度问题：假设你有一些任务，每个任务在一段时间内进行，你的目标是完成尽可能多的任务。如果每次都选择结束时间最早的任务，那么贪心算法就可以得到最优解。
  • 分数背包问题：给定一组物品和一个载重量，你的目标是选择一组物品，使得总重量不超过载重量，且总价值最大。如果每次都选择性价比最高（价值 / 重量）的物品，那么贪心算法在一些情况下可以得到最优解。
  • 股票买卖问题：给定一组股票的历史价格，你可以进行多次买卖，但如果你已经持有股票，那么在卖出之前不能再买，目标是获取最大利润。
  • 霍夫曼编码：霍夫曼编码是一种用于无损数据压缩的贪心算法。通过构建霍夫曼树，每次选择出现频率最低的两个节点合并，最后得到的霍夫曼树的带权路径长度（编码长度）最小。
  • Dijkstra 算法：它是一种解决给定源顶点到其余各顶点的最短路径问题的贪心算法。

题型